Dans le chapitre 2 du livre « Le numérique » nous avons fait allusion au point suivant : Le champ d’application de la loi puissance paraît si large, que l’on peut s’interroger sur l’origine de ce phénomène. La note suivante, dont le matériau est inspiré des livres de Jackson (2007) et Newman (2010), donne un fondement théorique à cette loi.

Barabasi et Albert ont proposé en 1999 un modèle de croissance d’un graphe complexe du type de celui d’Internet, en faisant l’hypothèse d’une apparition permanente de nouveaux nœuds qui sont connectés aux anciens sur la base d’un attachement préférentiel : les connexions de ces nouveaux nœuds se font préférentiellement avec ceux qui ont déjà beaucoup de liens. Cependant leur modèle est une variante d’un autre élaboré en 1975 par Price concernant le réseau des citations scientifiques, où les nœuds sont les articles et les liens sont les citations qu’un article fait des autres articles. Le graphe  ainsi constitué est orienté : un article i « pointe », en le citant, vers l’article k. Dans le modèle de Barabasi et Albert par contre, le graphe n’est pas orienté. Une autre différence entre les deux modèles est que dans celui de Price un article quelconque fait deux types de citations, vers des articles beaucoup cités (en probabilité, proportionnellement  aux citations dont il bénéficie déjà, suivant le principe d’attachement préférentiel) mais aussi de façon aléatoire. Ainsi un nouveau nœud fait  c citations en moyenne, dont une partie n est « préférentielle » et une autre partie a, aléatoire. Barabasi et Albert ne considèrent que l’attachement préférentiel. Nous présentons le modèle de Price et donnons à la fin les formules obtenues par Barabasi et Albert.

la suite de la démonstration dans le pdf ici

Demonstration Barabasi et Albert (1999) et Price (1975)

références :

Jackson Matthew O. : « Social nd Economic Networks » Princeton University Press, 2010.

Newman Mark.E.J. « Networks: an introduction »Oxford University Press, 2010.